Theo and Sains : Teorema Ketidaklengkapan Godel dan cara membacanya.

Theo and Sains : Teorema Ketidaklengkapan Godel dan cara membacanya.

   10:11 PM       Harukaze

---

 Akhir-akhir ini saya mendapatkan sebuah catatan yang baru saya dapatkan melalui banyak sekali catatan dan video yang tersebar di internet, catatan ini sudah menjadi catatan yang terkenal di kalangan ilmuwan matematika, dan saya sebagai guru Informatika saat ini baru mendengarnya. Catatan ini membuat saya tertarik, dan kumuat di blog ini.

Catatan ini adalah milik Kurt Godel, ilmuwan asal Austria dan berkebangsaan Jerman. Ilmuwan yang hidup semasa dengan Albert Einstein dan merupakan sahabat karibnya yang mana sering dijumpai Einstein berjalan bersama Godel.

Kurt Gödel

Langsung saja kita mengenal Teorema terkenal yang telah disusun oleh Godel, yang membahas bahwa sesuatu itu tidak bisa menyatakan bahwa ia sendiri itu lengkap. Teorema ini disebut sebagai teorema ketidaklengkapan miliknya.

Model Matematika Kurt Gödel

Ax. 1. $(P(\phi )\wedge \forall x(\phi (x)\Rightarrow \psi (x)))\Rightarrow P(\psi )$ 
Ax. 2. $P(\neg \phi )\iff \neg P(\phi )$
Th. 1. $P(\phi )\Rightarrow ◊\exists x\phi (x)$
Df. 1. $G(x)\iff \forall \phi (P(\phi )\Rightarrow \phi (x))$
Ax. 3. P(G)
Th. 2. ◊∃xG(x)
Df. 2. φ ess x⇔(φ(x)∧∀ψ(ψ(x)⇒□∀y(φ(y)⇒ψ(y))))
Ax. 4. $P(\phi )\Rightarrow \square P(\phi )$
Th. 3. $G(x)\Rightarrow G\text{ ess }x$
Df. 3. $E(x)\iff \forall \phi (\phi \text{ ess }x\Rightarrow \square \exists y\phi (y))$
Ax. 5. P(E)
Th. 4. □∃xG(x)

Berikut adalah penjelasan untuk setiap aksioma, teorema, dan definisi:

Notasi yang Digunakan:

• φ,ψ: Variabel yang mewakili formula atau predikat.
• x,y: Variabel individu.
• P(φ): Predikat yang menyatakan bahwa formula φ dapat dibuktikan.
• ¬: Negasi ("tidak").
• ∧: Konjungsi ("dan").
• ⇒: Implikasi ("jika ... maka ...").
• ⇔: Bi-implikasi ("jika dan hanya jika").
• ∀xφ(x): Kuantor universal ("untuk semua x, φ(x) benar").
• ∃xφ(x): Kuantor eksistensial ("ada x sedemikian hingga φ(x) benar").
• □φ: Operator modal "perlu" atau "adalah suatu keharusan bahwa φ". Dalam konteks ini, sering diinterpretasikan sebagai "diketahui secara apriori" atau "benar dalam semua dunia yang mungkin".
• ◊φ: Operator modal "mungkin" atau "adalah mungkin bahwa φ". Ini biasanya didefinisikan sebagai ¬□¬φ.
• ess: Singkatan untuk "essential" (esensial).

Aksioma (Ax.):

• Ax. 1. $(P(\phi )\wedge \forall x(\phi (x)\Rightarrow \psi (x)))\Rightarrow P(\psi )$

  • Ini menyatakan bahwa jika φ dapat dibuktikan, dan untuk semua x, jika φ(x) mengimplikasikan ψ(x), maka ψ juga dapat dibuktikan. Ini mirip dengan aturan inferensi Modus Ponens yang diterapkan pada predikat pembuktian P.

• Ax. 2. $P(\neg \phi )\iff \neg P(\phi )$

  • Ini menyatakan bahwa ¬φ dapat dibuktikan jika dan hanya jika φ tidak dapat dibuktikan. Ini adalah prinsip yang cukup kuat dan mungkin kontroversial dalam sistem logika pembuktian. Dalam sistem logika standar, ketidakmampuan untuk membuktikan φ tidak selalu berarti bahwa ¬φ dapat dibuktikan (dan sebaliknya, kecuali sistemnya lengkap).

• Ax. 3. $P(G)$

  • Di sini, G adalah predikat yang didefinisikan kemudian (Df. 1). Aksioma ini menyatakan bahwa predikat G dapat dibuktikan. Kita perlu melihat definisi G untuk memahami implikasinya.

• Ax. 4. $P(\phi )\Rightarrow \square P(\phi )$

  • Ini adalah prinsip introspeksi positif untuk pembuktian. Jika φ dapat dibuktikan, maka perlu (atau diketahui secara apriori) bahwa φ dapat dibuktikan. Ini menunjukkan bahwa sistem memiliki kesadaran akan pembuktiannya sendiri.

• Ax. 5. $P(E)$

  • Mirip dengan Ax. 3, E adalah predikat yang didefinisikan kemudian (Df. 3). Aksioma ini menyatakan bahwa predikat E dapat dibuktikan. Kita perlu melihat definisi E untuk memahami implikasinya.

Teorema (Th.):

• Th. 1. $P(\phi )\Rightarrow ◊\exists x\phi (x)$

  • Jika φ dapat dibuktikan, maka mungkin ada x sedemikian hingga φ(x) benar. Ini menghubungkan konsep pembuktian dengan kemungkinan eksistensi.

• Th. 2. $◊\exists xG(x)$

  • Ini adalah teorema yang diturunkan dari aksioma dan definisi sebelumnya. Ini menyatakan bahwa mungkin ada x sedemikian hingga G(x) benar. Kita perlu melihat definisi G(x) untuk interpretasinya.

• Th. 3. $G(x)\Rightarrow G\text{ ess }x$

  • Jika G(x) benar untuk suatu x, maka x memiliki sifat G secara esensial (berdasarkan definisi Df. 2).

• Th. 4. $\square \exists xG(x)$

  • Ini adalah teorema lain yang diturunkan. Ini menyatakan bahwa perlu (atau pasti) ada x sedemikian hingga G(x) benar.

Definisi (Df.):

• Df. 1. $G(x)\iff \forall \phi (P(\phi )\Rightarrow \phi (x))$

  • G(x) benar jika dan hanya jika untuk semua formula φ, jika φ dapat dibuktikan, maka φ(x) benar. Ini bisa diinterpretasikan sebagai x memiliki semua sifat yang dapat dibuktikan.

• Df. 2. $\phi \text{ ess }x\iff (\phi (x)\wedge \forall \psi (\psi (x)\Rightarrow \square \forall y(\phi (y)\Rightarrow \psi (y))))$

  • φ adalah esensial untuk x jika φ(x) benar, dan untuk semua sifat ψ, jika ψ(x) benar, maka perlu bahwa untuk semua y, jika φ(y) benar, maka ψ(y) juga benar. Ini mendefinisikan sifat esensial sebagai sifat yang, jika dimiliki oleh x, maka secara niscaya semua hal yang memiliki sifat φ juga memiliki sifat ψ.

• Df. 3. $E(x)\iff \forall \phi (\phi \text{ ess }x\Rightarrow \square \exists y\phi (y))$

  • E(x) benar jika dan hanya jika untuk semua sifat φ yang esensial bagi x, maka perlu bahwa ada y sedemikian hingga φ(y) benar.

Interpretasi dan Kaitannya dengan Teorema Ketidaklengkapan Gödel:

Model ini, yang sering dikaitkan dengan interpretasi filosofis dari teorema Gödel, mencoba untuk memformalkan konsep-konsep seperti kebenaran yang tidak dapat dibuktikan. Predikat G(x) dalam model ini sering dihubungkan dengan gagasan tentang pernyataan Gödel yang tidak dapat dibuktikan namun benar.

Secara informal, jika kita menganggap P(φ) sebagai "φ dapat dibuktikan dalam sistem", maka G(x) bisa diartikan sebagai "x memiliki semua sifat yang dapat dibuktikan". Teorema-teorema dan aksioma dalam model ini kemudian mengeksplorasi konsekuensi logis dari definisi ini dalam kerangka logika modal.

Penting untuk dicatat bahwa model logika modal ini bukanlah perumusan asli Teorema Ketidaklengkapan Gödel. Teorema asli Gödel dirumuskan dalam logika predikat tingkat pertama yang membahas tentang bilangan asli dan pembuktian dalam sistem formal aritmetika. Model ini lebih merupakan upaya untuk merefleksikan implikasi filosofis dari teorema tersebut dalam kerangka yang berbeda.

Untuk memahami sepenuhnya bagaimana model ini berkaitan dengan Teorema Ketidaklengkapan Gödel, diperlukan pemahaman yang mendalam tentang logika modal, teori pembuktian, dan interpretasi filosofis dari teorema Gödel. Model ini sering digunakan dalam diskusi tentang kemungkinan adanya kebenaran yang melampaui apa yang dapat dibuktikan secara formal.